李昌官：素养为本的高中数学单元起始课教学 ——兼谈“平面向量及其应用”单元起始课教学
文卫星，上海市特级教师。践行“生态课堂”，做到“两尊重”----即尊重知识的发生、发展规律，尊重学生的认知规律；把握“两个度”----思想（哲学或数学）高度和文化厚度。
在《数学教育学报》《数学通报》《中学数学教学参考》等近50家报刊杂志发表论文或文章约330多篇。
专著（代表作）：《超越逻辑的数学教学----数学教学中的德育》（2009）、《文卫星数学课赏析》（2012）、《挑战高考压轴题
近年为北京、上海、天津、江苏、浙江、福建、广东、贵州、河南、河北、四川、云南、新疆、宁夏、安徽、山西、重庆等地师生讲学。
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李昌官，浙江省台州市教育局教研室书记，台州市特级教师协会会长，博士、正高级教师、浙江省有突出贡献中青年专家、教育部“国培计划”专家、苏步青数学教育奖一等奖获得者、人民教育出版社中学数学教材编者，主要从事中学数学课程与教学研究．
续2020.8.12
基于起始课的定位与功能，确定“平面向量及其应用”单元起始课的教学目标如下：
通过“揭示大背景，提出大问题”，学生了解为什么学习本单元、本单元拟解决的主要问题是什么．通过“建立大框架，形成大思路”，学生了解本单元学习什么，以及学习的基本路径．通过“明确大观念，形成大策略”，学生能了解和感受如何学习本单元，以及为什么要采用这些策略与方法．学生能从力、位移、速度中抽象出向量概念，理解向量的符号表示、几何表示与代数表示，能基于向量数与形两方面的特征，建立研究向量所需要的辅助性概念．
3.1 揭示大背景，提出大问题
背景1：位移、力、速度等物理量都既有大小又有方向，它们在分解与合成等方面有许多共同的规律．
背景2：换一种视角看，许多几何图形中的线段也既有大小，又有方向．如图1，如果A，B，C是平面上位置固定的3个点，那么线段CD当且仅当它具有一定的长度和方向时，才能与线段AB，BC组成三角形．
图1
背景3：运算是数学威力最重要的源泉．只有搞清楚既有大小又有方向的量的共同的运算法则和运算律，才能更好地利用它们解决相关问题．
本单元的大问题：能否由位移、力、速度等抽象出更一般的数学概念，并通过研究这些量的运算及其运算律，更好地解决几何问题与物理问题？
〖设计说明〗（1）背景的功能与价值在于揭示为什么要学习本单元知识；（2）只看到背景1而看不到背景2与背景3是不完整的、片面的，不利于后续问题的提出，也难以为学生建立大的、完整的学习框架；（3）大问题是本单元的核心问题，其他问题因它而产生，本单元的学习与研究围绕它展开；（4）大问题的功能与价值在于通过明确“学什么”来引领本单元的学习，而不在于学生能否在起始课中解决它．
3.2 建立大框架，形成大思路
这个环节主要是把前面的大问题分解、转化为中问题、小问题，进而建立一个相对完整的“问题链”或“问题系”（如图2）．事实上，前面的大问题蕴含着如下四方面的问题．
第一，如何由位移、力、速度等抽象出一般的数学概念——向量？如何用不同的方式表示它们？如何基于向量同时具有数与形两方面的特征，建立研究向量所需要的辅助性概念？
第二，如何基于位移、力、速度等的合成、分解、放大、缩小等，建立向量有关运算？这些运算又满足怎样的运算律？
第三，如何用向量表示有关几何性质与几何关系，如，直线的平行与垂直、两直线间的夹角、三点共线、四点共面等？
第四，如何用向量的方法解决有关几何问题、物理问题？
图2
〖设计说明〗（1）在许多情况下，限于学生的认知基础与认知能力，我们不可能形成完善的大框架与大思路，但还是应尽最大努力去建立，因为它会避免思维的盲目性与碎片化现象，有总比没有好；（2）大框架与大思路应由师生以互动交流的方式共同建立，为此，教师应尽可能揭示数学知识发展的内在逻辑；（3）这个环节重在解决学什么，明确学习的路径与框架；（4）大框架与大思路应在后期的学习过程中不断修正、完善．
3.3 明确大观念，形成大策略
大观念：从数与形两方面思考几何问题，从大小与方向两方面审视线段，借助向量运算解决几何问题．
策略一：归纳、抽象．因为向量概念是在对位移、力、速度等进行归纳、抽象的基础上形成的，并且归纳、抽象是数学最常用的思维方法．
策略二：类比．即类比数及其运算，因为“数和数的运算是一切运算系统的标兵，让任意运算对象和数类比，让任意对象的运算和数的运算相比，不仅能使我们获得需要研究的问题，而且能使我们产生研究方法的灵感”[7]．
策略三：回归现实．即通过对力、位移、速度等运算的分析与归纳，探索向量运算的规律与法则．数学源于现实，它刻画的是现实世界事物的本质、关系与规律，因此回归现实、寻求启示是研究数学的常用方法．
策略四：数形结合，即在观察“形”的基础上，形成利用“数”进行运算的思路与方法．
策略五：完备化、一般化、特殊化．如，建立零向量概念、规定零向量与任一向量平行，等，最大限度地保持向量知识体系的完整性与一般化；无论是研究向量运算，还是向量间的关系，都考虑零向量、平行向量等特殊情况．
〖设计说明〗（1）尽管在许多情况下，限于学生的认知基础与认知能力，我们不可能一开始就有明确的大观念，并有完整的解决问题的策略与方法，但我们应努力做到“三思而后行”，而不是“摸着石头过河”．因为这既是数学理性精神的重要方面，也是养成数学理性精神的重要途径与方式．（2）解决问题的大观念与大策略应由师生共同建立，教师应尽可能回顾相关数学活动经验，尽可能揭示为什么要采用这样的策略与方法，怎样想到采用这样的策略与方法．（3）明确了大问题、大框架、大观念、大策略，就为学生主动发展、自主探究、有效探究创造了条件，否则真正的探究式、研究型学习只能是一种愿望，学生只能被动地跟着教师走．（4）这个环节的教学重在解决“如何学”的问题．
3.4 建立向量概念，迈出迈好第一步
3.4.1 归纳抽象，初步形成向量概念
进一步分析、归纳力、速度、位移的共同点；类比数的概念，明确应建构一种新的量来刻画这些物理量．
通过引导学生思考：起点不同，大小与方向相同的两个力、速度、位移是否应视为相等？探究是否需要把起点作为向量概念的一部分，分析、比较规定向量三要素（大小、方向与作用点）与规定向量两要素（大小、方向）的利弊与优缺点，初步形成向量概念．
〖设计说明〗（1）从数与形两方面进行抽象，逐步抽象、多次抽象；（2）数学概念的建立是一个“证实”与“证伪”相结合的过程，应在比较不同定义优劣的基础上，实现数学概念的最优化．[[i]]
3.4.2 直观想象，多元表征向量概念
思考：怎样表示向量？为什么要这样表示？怎样想到？
〖设计说明〗（1）遵循数学概念发展的内在逻辑，为了便于表达与交流，必然要解决如何表示向量问题，因此向量的表示是向量概念的一部分．（2）考虑到向量同时具有数与形两方面的特征，故向量应有符号表示、几何表示与代数表示．
3.4.3 数形结合，完善向量概念
思考：为了更好地研究向量，需要建立哪些相关的辅助性概念？为什么要建立这些辅助性概念？
〖设计说明〗（1）一个主概念建立后，必然要建立相应的辅助性概念，这正如小区房子造好后，还要绿化和建相应的辅助设施．（2）基于向量“数”的特征，猜想应建立向量的模、零向量、单位向量等概念；基于向量“形”的特征，猜想应建立平行向量、共线向量等概念；基于向量同时具有“数与形”的特征，猜想应建立相等向量、相反向量等概念．（3）建立辅助性概念时，应注意类比数（如，数有0、1、相反数等概念）和直线（直线有平行与相交两种位置关系）．（4）基于数学知识的完备性和统一性，规定：零向量与任一向量平行．
3.4.4 运用巩固，内化向量概念
〖设计说明〗（1）完成教材中相应的例题与习题；（2）鉴于这部分的例题与习题难度不大，学生基本上能独立完成，因此让学生先独立思考、解决，再小组交流，最后全班交流，教师点评．
3.4.5 回顾反思，引出向量运算
学生回顾本节课的学习内容与学习方法，反思学习中存在的问题与不足．
学生思考接下去应研究的问题，由力、位移、速度的合成与分解等，猜想应建立哪些向量运算，并探索这些运算满足怎样的运算律．
素养为本单元起始课教学的关键是把握好“单元整体”与“起始教学”两个关键词，处理好眼前与长远、整体与局部、综合与分解关系．同时，应清楚地认识到，“揭示大背景、提出大问题，建立大框架、形成大思路，明确大观念、形成大策略”既有利于改进和优化单元起始课教学、利于更好地生成数学学科核心素养的一面，也有给教师的教和学生的学带来巨大的挑战、让他们一时无所适从的另一面．
[1] G·波利亚．怎样解题[M]．涂泓，冯承天，译．上海：上海科技教育出版社，2002：77.[2] 温·哈伦．科学教育的原则和大原则[M]．韦钰，译．北京：科学普及出版社，2011：2.[3] 李昌官．为发展学科一般观念而教[J]．数学通报，2019（9）：11-15．[4] 李昌官．高中数学研究型教学[M]．上海：华东师范大学出版社，2019：62-78.[5] 项武义．基础代数学[M]．北京：人民教育出版社，2004：20.[6] 项武义．基础几何学[M]．北京：人民教育出版社，2004：154.[7] 人民教育出版社，课程教材研究所，中学数学课程教材研究开发中心．普通高中课程标准实验教科书数学必修1（A版）教师教学用书[M]．人民教育出版社，2004：4.[8]]李昌官．数学证伪教学与数学教学的优化[J]．课程·教材·教法，2019（6）：93-99.
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